# Divisibility Tests

## Divisibility Tests of different numbers

Divisibility Test by 2
If
the ones digit or unit’s place digit of a number is 0, 2, 4, 6 0r
8 (i.e. an even number) then the number is said to be
divisible by 2. For example, let’s take 24. The last digit is even so
4 is divisible by 2, so the given number is divisible by 2.

Divisibility Test by 4
A number is divisible by 4 if
the number formed by the last two digits is divisible by 4. For
example, let’s take 12343684. Just check the last 2 digits of the numbers. If
the last two digits i.e. 84 are divisible by 4 then the number is
divisible by 4.
Divisibility Test by 3 and 9
A number is divisible by 3 if
the sum of its digits is divisible by 3. Let’s have a look at some
examples.
·
121: Here the
sum of the digit is 4. Is 4 divisible by 3? No. So we cannot divide 121 by 3.
·
123:
Here the sum of the digit is 6 and yes 6 is divisible by 3. So the number 123
is divisible by 3.

Same rules are applied to the
divisibility test of 9. A number is divisible by 9 if the sum of its
digits is divisible by 9.
Test of Divisibility by 5
A number is exactly divisible by 5 if
it has the digits 0 or 5 at one’s place. The numbers like 15,120,205,4400 etc.
are exactly divisible by 5 as these numbers have 0 or 5 in the one’s place.
Let’s look at another example-
In the numbers 21345650 and 459022,
which one is exactly divisible by 5? Out of both the numbers  21345650 and
459022, the first number i.e. 21345650 is exactly divisible by 5 as the ones
place is occupied by 0.
Test of Divisibility by 6
A number is exactly divisible by 6 if
that number is divisible by 2 and 3 both. For checking the divisibility of the
number with 6 we have to apply the rule of divisibility tests that we apply for
numbers 2 and 3.
Let’s look at an example.

In the number 12,581 the ones digit
does not have any of the numbers like 0,2,4,6,8 in the ones place. So the
number is not divisible by 2. Hence the number is not divisible by 6 because
for a number to be divisible by 6, it has to be divisible by 2 and 3 both.
Test of Divisibility by 8
The test of divisibility by 8 is used
in numbers with four or more digits. A number is exactly divisible by 8 if the
number formed by the digits in ones, tens and hundredth place is divisible by
8. In the number 5864, we see that the number formed by the digits in ones,
tens and hundredth place, 864 which is divisible by 8, so the number is
divisible by 8.
For example, whether the following
number is divisible by 8: 5,87,824. In the numbers given above, the number
5,87,824 has 824 in the ones, tens and hundredth place. This number is exactly
divisible by 8, hence the number is divisible by 8.
Divisibility Test by 7

Test 1
Double the last digit and subtract it
from the remaining leading truncated number. If the result is divisible
by 7, then so was the original number. Apply this rule over and over again
as necessary.
Example:  Is the number 1603
divisible by 7?
Solution: Applying the method, 160 – 2× 6 = 154. This number is divisible by 7.
Test 2
Take the digits of the number in
reverse order, from right to left, multiplying them successively by the digits
1, 3, 2, 6, 4, 5, repeating with this sequence of multipliers as long as
necessary. Add the products. If the sum is divisible by 7 then it passes
the divisibility test of 7.
Example:
Is the number 1603 divisible by 7?
Solution: Multiplying by the respective digits, 3× 1 + 0 × 3 + 6 × 2
+ 1 × 6= 21. This number is divisible by 7.

Divisibility Test by 11
Subtract the last digit from the
remaining leading truncated number. If the result is divisible by 11 then
so was the first number. Apply this rule over and over again as necessary. For
example, let’s take the number 19151.
19151 → 1915 – 1 = 1914
1914 → 191 – 4 = 187
187 → 18 – 7 = 11
Hence, 19151 is divisible by 11.

Divisibility Rules for Higher Numbers
·
A number is
exactly divisible by 10 if the one’s place of the number is occupied by 0. So,
the numbers with 0 in the one’s place are divisible by 10.
·
A number is
divisible by 13 if the number obtained by subtracting 9 times the last
digit from the remaining digits of the number is divisible by 13.
·
A number is
divisible by 17 if the number obtained after subtracting 5 times the
last digit from the rest is divisible by 17.
विभिन्‍न संख्‍याओं की विभाज्यता जांच
2 से विभाज्यता परीक्षण

यदि किसी अंक की इकाई या इकाई का स्थान अंक 0, 2, 4, 6 , 8 (यानी सम संख्या) है तो संख्या को 2 से विभाज्य कहा जाता है। उदाहरण के लिए, चलो 24 लेते हैं। अंतिम अंक भी है इसलिए 4 2 से विभाज्य है, इसलिए दी गई संख्या 2 से विभाज्य है।
4 से विभाजन की परीक्षा

एक संख्या 4 से विभाज्य है यदि अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 4 से विभाज्य है। उदाहरण के लिए, चलो 12343684 है। बस संख्याओं के अंतिम 2 अंकों की जांच करें। यदि अंतिम दो अंक यानी 84 को 4 से विभाज्य है तो संख्या 4 से विभाज्य है।
3 और 9 द्वारा विभाज्यता परीक्षण

यदि अंकों का योग 3 से विभाज्य है तो संख्या 3 से विभाज्य है। आइए कुछ उदाहरणों पर ध्यान दें।
· 121: यहाँ अंक का योग है। 4 3 से विभाज्य है? नहीं, इसलिए हम 121 को 3 से भाग नहीं दे सकते।
· 123: यहाँ अंक का योग 6 है और हाँ 6 3 से विभाज्य है। इसलिए संख्या 3 से विभाज्य है।
समान नियमों को 9 की विभाज्यता परीक्षा में लागू किया जाता है। एक संख्या 9 से विभाज्य है यदि इसके अंकों का योग 9 से विभाज्य है।
5 द्वारा विभाज्यता का परीक्षण

यदि कोई अंक 0 या 5 एक स्थान पर है, तो संख्या 5 से बिल्कुल विभाज्य है। 15,120,205,4400 इत्यादि संख्याएँ 5 से बिल्कुल विभाज्य हैं क्योंकि इन नंबरों में एक के स्थान पर 0 या 5 हैं।
आइए एक और उदाहरण देखें-
संख्या 21345650 और 459022 में, कौन सा 5 से विभाज्य है? दोनों संख्याओं में से 21345650 और 459022, पहली संख्या यानी 21345650 5 से विभाज्य है क्योंकि उन पर 0 का स्थान है।
6 द्वारा विभाज्यता का परीक्षण

एक संख्या 6 से विभाज्य है यदि वह संख्या 2 और 3 दोनों से विभाज्य है। 6 के साथ संख्या की विभाज्यता की जांच के लिए हमें विभाजन परीक्षणों के नियम को लागू करना होगा जिसे हम संख्या 2 और 3 के लिए लागू करते हैं।
आइए एक उदाहरण देखें।
12,581 की संख्या में लोगों के अंकों में कोई संख्या नहीं होती है जैसे कि 0,2,4,6,8 के स्थान पर। इसलिए संख्या 2 से विभाज्य नहीं है। इसलिए संख्या 6 से विभाज्य नहीं है क्योंकि संख्या 6 से विभाज्य होने के लिए, इसे 2 और 3 दोनों से विभाज्य होना चाहिए।
8 से विभाज्यता का परीक्षण
8 द्वारा विभाज्यता का परीक्षण चार या अधिक अंकों के साथ संख्या में उपयोग किया जाता है। संख्या 8 से बिल्कुल विभाज्य है यदि संख्याओं, दसियों और सौवें स्थान पर अंकों की संख्या 8 से विभाजित होती है। 8. 5864 की संख्या में, हम देखते हैं कि संख्याओं में जो संख्याएँ बनती हैं, उनमें दसवीं और सौवीं जगह, 864 8 से विभाज्य है, इसलिए संख्या 8 से विभाज्य है।
उदाहरण के लिए, निम्न संख्या 8: 5,87,824 से विभाज्य है या नहीं। ऊपर दिए गए नंबरों में, 5,87,824 की संख्या वाले, दसियों और सौवें स्थान पर 824 है। यह संख्या 8 से विभाज्य है, इसलिए संख्या 8 से विभाज्य है।
7 से विभाजन परीक्षण
परीक्षण १
अंतिम अंक को दोगुना करें और शेष प्रमुख छंटनी की संख्या से घटाएं। यदि परिणाम 7 से विभाज्य है, तो मूल संख्या यही थी। आवश्यकतानुसार इस नियम को बार-बार लागू करें।
उदाहरण: क्या १६०३ संख्या 160 से विभाज्य है?
समाधान: विधि को लागू करना, 160 – 2 × 6 = 154। यह संख्या 7 से विभाज्य है।
परीक्षण २
संख्याओं के अंकों को उल्टे क्रम में ले जाएं, दाएं से बाएं, अंकों को क्रमिक रूप से 1, 3, 2, 6, 4, 5 से गुणा करते हुए, गुणकों के इस क्रम को आवश्यकतानुसार लंबे समय तक दोहराते रहें। उत्पादों को जोड़ें। यदि योग 7 से विभाज्य है तो यह 7 की विभाज्यता परीक्षा से गुजरता है।
उदाहरण: क्या १ 7०३ संख्या 160 से विभाज्य है?
समाधान: संबंधित अंकों से गुणा, 3 × 1 + 0 × 3 + 6 × 2 + 1 × 6 = 21। यह संख्या 7 से विभाज्य है।
11 से डिवीजबिलिटी टेस्ट

शेष प्रमुख छंटनी संख्या से अंतिम अंक घटाएं। यदि परिणाम 11 से विभाज्य है तो पहली संख्या थी। आवश्यकतानुसार इस नियम को बार-बार लागू करें। उदाहरण के लिए, चलो 19151 नंबर लें।
19151 → 1915 – 1 = 1914
1914 → 191 – 4 = 187
187 → 18 – 7 = 11
इसलिए, 19151 11 से विभाज्य है।
उच्च संख्या के लिए विभाज्यता नियम
· एक संख्या 10 से बिल्कुल विभाज्य है यदि संख्या का स्थान 0. पर कब्जा कर लिया गया है, तो एक के स्थान पर 0 के साथ संख्या 10 से विभाज्य है।
· एक संख्या 13 से विभाज्य है यदि संख्या के शेष अंकों से 9 बार अंतिम अंक घटाकर प्राप्त की गई संख्या 13 से विभाज्य है।
· एक संख्या 17 से विभाज्य है यदि शेष से अंतिम अंक 5 गुना घटाकर प्राप्त की गई संख्या 17 से विभाज्य है।